Um esboço sobre a natureza do conhecimento geométrico

 Um esboço sobre a natureza do conhecimento geométrico

William Casagrande Candiotto (UFSC)
williamcasagrande@hotmail.com
Patricia Laura Torriglia (UFSC)
patrilaura@gmail.com
Ademir Damazio (UNESC)
add@unesc.net
Resumo: O presente texto faz parte de uma pesquisa em andamento que tem como objetivo compreender a gênese, os nexos e a estrutura do conhecimento geométrico. O foco da crítica aqui apresentada traduz a necessidade de compreender a natureza do conhecimento geométrico e sua relação com a realidade material. Para a dialética materialista, a geometria é a expressão ideal do movimento real da matéria, das leis físicas que regem tal movimento. Seu objeto é as formas espaciais e as relações dos corpos reais, abstraindo-se as demais propriedades. No texto, apresentamos uma crítica a crítica de Lukács – no texto “Neopositivismo e existencialismo” – ao experimento ideal de Einstein sobre seres bi e tridimensionais. Essa discussão apontou elementos para compreender o objeto da pesquisa com base nos fundamentos da dialética materialista.
Palavras-chave: Conhecimento geométrico; Crítica; Geometria e espelhamento.
Introdução
A categoria matéria adquire importância na compreensão do conhecimento geométrico, pois o objeto da geometria são as propriedades do espaço que, por sua vez, “está integrado por las propiedades de los cuerpos reales, sus relaciones materiales y formas” (Aleksandrov et al., 1991, v. 3: 217). A constituição do espaço está indissoluvelmente ligada à matéria. Para Ovtchinnikov (1955: 245-246):
O espaço é a forma de ser da matéria que caracteriza a extensão dos objetos materiais. Não há espaço em si, desligado das coisas materiais e vazio de matéria. Não é também o espaço uma pura extensão, desprovida de qualidade. Caracteriza-se por propriedades específicas, que dependem dos próprios objetos materiais.
Essa nova concepção de espaço dada pelo materialismo dialético e confirmada pelas novas descobertas da geometria do século XIX e da física do século XIX e início do XX, deram um golpe nas concepções idealistas de matéria e, por consequência, nas concepções de espaço e tempo. Ovtchinnikov (1955: 251-252, grifo do autor) afirma:
A grande descoberta de Lobatchevski desferiu tremendo golpe no apriorismo de Kant. Os conceitos básicos da geometria de Euclides, existente há mais de dois mil anos, adquiriram a aparência de verdades absolutas, independentes da experiência, da prática. Desenvolvendo sua doutrina subjetiva e idealista do espaço e do tempo como formas a priori da sensibilidade, Kant referia-se ao "caráter absoluto”, à estabilidade dos axiomas geométricos. A criação da geometria não-euclidiana demonstrou, de maneira convincente, que as formas espaciais são formas inerentes às próprias coisas, e não à razão humana.
Deste modo, observamos um avanço na compreensão da materialidade do mundo e, por consequência, da materialidade dos elementos que o compõe. A categoria espaço era considerada absoluta até então e estava corroborada pela física clássica de Newton e pela geometria de Euclides.
Para Lenin (1979: 134), a matéria é “una categoría filosófica para designar la realidad objetiva, dada al hombre en sus sensaciones, calcada, fotografiada y reflejada por nuestras sensaciones y existente independientemente de ellas”. A matéria possui a propriedade de existir independentemente da consciência, porém, essa não pode ser a característica principal que a define, uma vez que a consciência, enquanto uma forma especial de reflexo, não é eterna, ao contrário da matéria. A objetividade da matéria não só existe independentemente da consciência cognoscente, como também, existe independentemente da consciência enquanto propriedade de uma formação material particular altamente desenvolvida – o cérebro humano –, propriedade essa que é um tipo especial de uma propriedade universal da matéria, o reflexo.
O movimento é outra propriedade universal da matéria. “O movimento, o espaço e o tempo, como formas fundamentais de existência da matéria, encontram-se em unidade orgânica indissolúvel, condicionada pela unidade do mundo material” (Ovtchinnikov, 1955: 245). Segundo Cheptulin (1982: 162, grifo do autor), “uma definição científica do movimento foi dada, pela primeira vez, pelos fundadores do materialismo dialético e, em particular, por Engels que escreveu que: ‘o movimento, aplicado à matéria, é a modificação em geral’”. Nesse sentido, “compreende todas as transformações e processos que se produzem no Universo desde as simples mudanças de lugar até a elaboração do pensamento” (Engels, 1979: 41).
Esse movimento do real determina, por sua vez, o movimento do pensamento. A geometria, sendo uma ciência das propriedades do espaço, é a expressão ideal do movimento real da matéria, das leis físicas que regem tal movimento. A forma espacial, sendo propriedade da matéria, possui uma objetividade independente da consciência, enquanto a geometria possui uma objetividade intermediada pela subjetividade. O conhecimento geométrico é a subjetivação das relações espaciais objetivadas e, dialeticamente, torna-se uma subjetividade objetivada em forma de conhecimento.
Essa acepção materialista do objeto da geometria contribui à compreensão da relação entre as formas de espelhamento da realidade e a própria realidade e, por sua vez, combate as posições neopositivistas que tendem a eliminar as distinções entre a realidade e suas formas de espelhamento. Lukács (2012), em seu texto sobre o neopositivismo, faz a crítica a essas posições neopositivistas e, em certa altura, recorre a um exemplo sobre o conhecimento geométrico e sua relação com a teoria da relatividade de Einstein. O exemplo trata do experimento ideal einsteiniano sobre seres bidimensionais que pensam e geometrizam. No entanto, apesar da absurdidade do experimento de Einstein, a essência de seu argumento não traduz a prova da indistinção citada e, com isso, apresentamos uma crítica a crítica.
Crítica a crítica
No que tange às relações entre a geometria, como uma forma de espelhamento, e a realidade material, Lukács (2012: 45-74) faz uma crítica ao método positivista e neopositivista da compreensão da realidade fundado no elemento matemático e à “unilateralidade da visão exclusivamente gnosiológico-teórica e lógica sobre a realidade” (Lukács, 2012: 61). A tendência a esta unilateralidade derivou um esforço do neopositivismo “em eliminar toda distinção entre a própria efetividade e suas representações nas diversas formas de espelhamento” (Lukács, 2012: 61).
Na crítica de Lukács às concessões filosóficas à teoria da manipulação do neopositivismo feitas por estudiosos célebres, o autor exemplifica com o experimento ideal de Einstein sobre seres bi e tridimensionais para mostrar a relação entre a geometria e a teoria da relatividade. O autor esclarece que não se trata de uma crítica a essa teoria, mas à compreensão de Einstein, segundo sua interpretação, de que a geometria é uma parte constitutiva da realidade física.
Lukács cita um trecho do livro “A evolução da física”, do item “geometria e experiência”, o qual reproduzimos aqui diretamente original:
Comecemos pela descrição de um mundo no qual vivem apenas criaturas bidimensionais, e não tridimensionais como o nosso. O cinema nos acostumou com criaturas bidimensionais representando em uma tela bidimensional. Imaginemos agora que essas figuras-sombras, isto é, os atôres na tela, realmente existem, que têm o poder do pensamento, que podem criar sua própria ciência, e que, para elas, uma tela bidimensional representa o espaço geométrico. Essas criaturas são incapazes de imaginar, de um modo concreto, um espaço tridimensional, do mesmo modo como somos incapazes de imaginar um mundo de quatro dimensões. Podem desviar uma linha reta; sabem o que é um círculo, mas são incapazes de construir uma esfera, pois isso significaria abandonar a sua tela bidimensional. Estamos em situação semelhante. Estamos capacitados a desviar e curvar linhas e superfícies, mas dificilmente podemos imaginar um espaço tridimensional desviado e curvado (Einstein; Infeld, 1966: 182-183, grifos nossos).
Nesse trecho aparece o termo “figuras-sombras” que, na citação de Lukács, é traduzido como “vultos espectrais”; onde aparece o termo “concreto”, em Lukács aparece “plástico” e, por fim; onde aparece o termo “quatro dimensões”, Lukács fala em “quadridimensional”. Parece-nos que tais diferenças de termos, nesse trecho, não alteram a essência da ideia expressada. Para Lukács, o experimento ideal não trata de problemas concretos da física, pois, não existem seres bidimensionais que pensem e atuem num mundo bidimensional e que possam ser retirados desse mundo, levados a outro tridimensional para aperceber-se da terceira dimensão. Na sequência, Einstein intensifica o exemplo colocando os seres bidimensionais nas mesmas condições em que nos encontramos durante o desenvolvimento do conhecimento geométrico e físico da realidade física. Chega a dizer que se as figuras-sombras deixassem de ser conservadoras, naquela situação, começariam a admitir que o espaço é não-euclidiano. O exemplo trata apenas de uma situação hipotética que beira a absurdidade quanto à adaptabilidade da metáfora ao nosso espaço físico real de seres tridimensionais. O exemplo traz o cinema como recurso da metáfora, mas, esquece que a reprodução em tela, bem como numa pintura, corresponde à realidade tridimensional espelhada bidimensionalmente.
Cheptulin (1982: 187) cita um exemplo semelhante a esse usado por Einstein:
O professor Zelner[1], espiritualista, chegou a recorrer ao seguinte raciocínio: admitamos que existam seres com duas dimensões, que só podem deslocar-se da esquerda para a direita, para frente e para trás, mas não de baixo para cima. Eles seriam parecidos com um peixe chato, por exemplo, o linguado, colocado em um aquário chato, e privado da possibilidade de se deslocar para o alto e para baixo. Esses seres viventes não sabem nada da terceira dimensão espacial que nós conhecemos, já que somos seres de três dimensões. É por isso que, para chegar ao centro do círculo, esses seres podem deslocar-se no sentido do raio e, assim, eles cortarão forçosamente a circunferência. Quanto a nós, podemos chegar ao centro do círculo de outra maneira, seguindo a terceira dimensão, isto é, aproximando-nos do alto para baixo e de baixo para o alto.
A ideia acima é semelhante à expressada no exemplo de Einstein e, por sua vez, também expressa uma abstração absurda que não corresponde à realidade física das coisas, inclusive pelo simples fato de que não existem peixes e aquários chatos e, também, porque não existem peixes que saibam geometrizar. Segundo Cheptulin, a metáfora de Zöllner  quer demonstrar que estamos em posição semelhante em relação à quarta dimensão, na qual não podemos alcançar o centro de uma esfera, por exemplo, sem tocar sua superfície, mas, que seres quadridimensionais podem.
Neste exemplo, diferente em partes do de Einstein, trata-se de uma metáfora que apela às questões sobrenaturais que não compreendemos e nem explicamos com base em nosso espaço tridimensional. “Esses raciocínios mostram o quanto a quarta dimensão é necessária a certos filósofos para fundamentar a existência de Deus e de todo o misticismo” (Cheptulin, 1982: 187). No caso do exemplo analisado por Lukács, entendemos que o físico queria mostrar como é difícil imaginar um espaço não-euclidiano e não necessariamente evidenciar um espaço físico de quatro dimensões, haja vista que a teoria da relatividade explica essa questão do espaço quadridimensional ao superar o tempo absoluto, independente da matéria, ou seja, um espaço de três coordenadas espaciais e uma temporal. “La proposición más esencial y básica de la teoría de la relatividad es la siguiente: el espacio es completamente inseparable del tiempo, y ambos forman una única forma de existencia de la materia, la variedad tetradimensional del espacio-tiempo” (Aleksandrov, 1991, v. 3: 223).
Na sequência da crítica, Lukács (2012: 63-64) afirma:
Poder-se-ia alegar o seguinte: ainda que tudo que dissemos contra o experimento ideal de Einstein seja correto, isso não afeta a essência de seu argumento, qual seja, que a geometria constitui uma parte da física. Por conseguinte, a geometria não é um espelhamento da realidade, abstraído de forma brilhante e, por isso, infinitamente fecundo para a ciência, e cuja aplicação crítica à física promoveu de modo extraordinário e ainda hoje promove esta ciência, mas, ao contrário, seus objetos são tão reais e corpóreos quanto os da própria física. 
Continuando, Lukács (2012: 64) coloca a indagação puramente filosófica: “A geometria é um espelhamento da realidade ou os seus objetos e respectivas conexões são partes constitutivas reais da realidade física, como a dureza, o peso etc.?”. Não nos parece que o experimento ideal de Einstein tenha a intenção de afirmar a constituição física dos objetos da geometria, tampouco que a geometria não é um espelhamento da realidade física. Einstein tem a intenção de mostrar que o nosso espaço é não-euclidiano, nisso consiste a essência de seu experimento. No trecho acima, Lukács fala que a essência do argumento de Einstein é “que a geometria constitui uma parte da física” e nisso não vemos problemas, pois, a geometria não pode ser separada da física, a geometria é constitutiva da física. Esta última é também um espelhamento da própria realidade física das coisas. Segundo Aleksandrov (1991, v. 3: 221), “la geometría como ciencia de las propiedades del espacio está relacionada con la física, depende de ella y solamente puede ser separada de ésta en la abstracción y en ciertos contextos”. O que Lukács quer mostrar, segundo nosso entendimento, é que os objetos da geometria não constituem uma parte da realidade física mesma. Porém, como foi expresso por ele na análise específica do experimento de Einstein, leva ao entendimento de que a geometria é independente da física enquanto ciência, pois, não distingue claramente as propriedades do espaço e o espelhamento da ciência geométrica, bem como a matéria e o espelhamento da ciência física.
Aleksandrov (1991, v. 3: 221-222) assim expressa essa questão:
La dependencia de la geometría respecto a la física, o en otras palabras, la dependencia de las propiedades del espacio respecto a la materia, fue claramente señalada por Lobachevski, quien previó la posibilidad de un cambio en las leyes de la geometría en relación con los nuevos descubrimientos físicos.
Essa questão da relação da física com a geometria acarreta confusões de toda ordem, sobretudo no que tange ao objeto da geometria, pois, não se trata de uma questão puramente matemática, mas, também de ordem filosófica. Por exemplo, “en la época de Demócrito, las figuras geométricas no estaban todavía separadas de las reales tanto como ahora” (Aleksandrov, 1991, v. 1: 45), e isso tinha consequências na concepção de geometria. Posto que “Demócrito considerava los cuerpos reales como compostos de átomos, nada más natural que también contemplara las figuras geométricas bajo este mismo ángulo” (Aleksandrov, 1991, v. 1: 45).  
Após colocar a questão acima, Lukács cita a sequência dos argumentos de Einstein, transcrito aqui direto do original. A frase imediatamente anterior ao trecho de Einstein citado por Lukács convida o leitor a voltar ao mundo das criaturas tridimensionais.
Que se quer dizer com a declaração de que o nosso espaço tridimensional é euclidiano? O significado é que tôdas as declarações lógicas provadas da Geometria euclidiana podem ser também confirmadas pela experiência real. Podemos, com a ajuda de corpos rígidos ou de raios de luz, construir objetos correspondentes aos objetos idealizados da geometria euclidiana. A aresta de uma régua ou um raio de luz corresponde à linha; a soma dos ângulos internos de um triângulo construído com hastes delgadas é 180 graus; a razão dos raios de dois círculos com um centro comum, construídos de arames finos flexíveis, é igual à de suas circunferências. Assim interpretada, a Geometria euclidiana se torna um capítulo da Física, embora muito simples. Mas podemos imaginar que foram descobertas discrepâncias, como, por exemplo, a de que a soma dos ângulos internos de um triângulo grande, construído de hastes, que por muitas razões tinham de ser consideradas rígidas, não é 180 graus (Einstein; Infeld, 1966: 184-185, grifos nossos). 
Nesse trecho aparece o termo “experiência real” que, na citação de Lukács, é traduzido como “experimento prático”; onde aparece o termo “correspondentes”, em Lukács aparece “que se assemelham”; onde aparece o termo “linha”, Lukács fala em “reta”; onde aparece “hastes delgadas”, em Lukács aparece “hastes delgadas e rígidas” e, por fim; onde aparece “arames finos flexíveis”, em Lukács aparece “fio delgado e não flexível”. No que se refere ao último termo, no livro de Einstein, em inglês, aparece “thin unbendable wire” e nas versões italiana e alemã do livro de Lukács aparecem os termos “filisottili indeformabili” e “dünnem nicht biegsamem Draht”, respectivamente. Isso indica que o correto seja “fio fino e não flexível”. Apesar da importância do erro de tradução, esse detalhe não altera a discussão que procedemos aqui.
Lukács (2012: 64) afirma que, com essa declaração, Einstein “considera a geometria euclideana uma hipótese, um modelo para o conhecimento dos fenômenos físicos”. Entendemos que Einstein não poderia afirmar a geometria euclidiana como um modelo para o conhecimento dos fenômenos físicos porque a realidade física, de acordo com a teoria da relatividade por ele desenvolvida, é não-euclidiana. Nosso espaço é euclidiano apenas no que tange às pequenas dimensões, de certo modo até no âmbito do globo terrestre, porém, ainda com restrições. A teoria da relatividade dá um duro golpe na teoria kantiana do espaço ao provar que nosso espaço real é não-euclidiano, superando “la doctrina de que la Geometría Euclidiana es inherente a la naturaleza del mundo físico” (Almira; Ramos, 2004: 91).
Se isso procede, como pode Einstein, como afirma Lukács, sustentar que os objetos da geometria são constitutivos da própria realidade física? Einstein está dizendo que nossa percepção imediata considera apenas o espaço da geometria euclidiana e nos custa visualizar um espaço não-euclidiano. Assim, a geometria de Euclides se torna um caso particular da geometria de Lobachevski e de Riemann e, por consequência, um caso particular de conhecimento dos fenômenos físicos. É por isso Einstein diz que a geometria euclidiana torna-se um capítulo simples da física. Logo na sequência do trecho, ele diz:
Como já estamos acostumados com a idéia da representação concreta dos objetos da Geometria euclidiana por corpos rígidos, provàvelmente buscaríamos alguma fôrça física para causa dêsse inesperado mau procedimento de nossas hastes (Einstein; Infeld, 1966: 185, grifo nosso).
Ou seja, ele evidencia a necessidade que a humanidade teve, na época do desenvolvimento das geometrias não-euclidianas, de procurar problemas na própria realidade física que estavam afetando nossa convicção na geometria de Euclides.
A crítica que procedemos aqui não é à totalidade da crítica de Lukács a Einstein, pois, comungamos da crítica às concepções que consideram a geometria como parte constitutiva da realidade física e da absurdidade do exemplo de Einstein. Porém, não vemos em momento algum nas passagens de Einstein o argumento da constituição física dos objetos da geometria.
Na sequência da crítica, ao tratar da necessária homogeneização no espelhamento geométrico da realidade heterogênea e do correto espelhamento da condição quantitativa da matemática, Lukács (2012: 65) escreve:
Essa homogeneização razoável no espelhamento geométrico permite, portanto, um alto grau de matematização das relações espaciais assim descobertas, uma racionalização expressa em termos matemáticos de conexões puramente espaciais, que jamais poderiam ter sido obtidas por meio da simples observação etc. das próprias coisas. E ao falar aqui de matematizar, devemos acrescentar de imediato que também a matemática, obviamente, baseia‑se no correto espelhamento da condição quantitativa das coisas e das relações na realidade. [...] O desenvolvimento da matemática confirmou brilhantemente a correção e a fecundidade dessa abstração homogeneizante e ajudou a desvendar nexos quantitativos da realidade de extrema complexidade, coisa que não teria sido possível por vias diretas. Desse modo, repetimos, sobre a base do espelhamento abstrativo‑homogeneizante foi possível também a matematização das relações espaciais puras, geometricamente espelhadas.
A abstração homogeneizante é uma necessidade no conhecimento matemático, porém, não pode prescindir, na análise de um fenômeno físico, das demais propriedades do objeto analisado. Tal homogeneidade matemática não pode ser absolutizada e encarada, como diz Lukács, “como a chave última e definitiva de decifração dos fenômenos” (Lukács, 2012: 50), como ocorre com o neopositivismo.
Essa análise de Lukács do conhecimento geométrico e matemático expressa uma compreensão dialético-materialista da realidade, sobretudo da espacialidade e das relações quantitativas. Assim, defendemos o desenvolvimento do pensamento teórico-matemático que contribua a uma formação humana plenamente desenvolvida. A formação de tal pensamento torna-se possível por meio do método dialético-materialista de compreensão da realidade e que, por sua vez, se constitui num instrumento de transformação da atual forma de produzir a vida humana em sociedade.
Logo em seguida, Lukács (2012: 65-66) adverte com justeza:
Todos esses triunfos da abstração razoável não alteram em nada o fato ontológico fundamental de que tanto a geometria quanto a matemática constituem espelhamentos, e não partes, nem "elementos" etc. da realidade física. Por espelharem momentos importantes e fundamentais, puras relações espaciais e puras relações quantitativas respectivamente, a geometria e a matemática são excelentes instrumentos para conhecer toda a realidade cuja essência consiste de relações espaciais ou quantitativas. Mas a despeito de todos esses brilhantes resultados não se deve esquecer a singela verdade de que espelhamentos desse tipo podem espelhar somente determinados momentos da realidade, enquanto a realidade existente em si possui uma infinidade de outros componentes.
Essa advertência é importante para não incorrer-se nos mesmos erros do neopositivismo ao reduzir a realidade às descrições e interpretações puramente lógico-matemáticas. Os conhecimentos matemáticos e geométricos são espelhamentos do real e, portanto, sua coerência estrutural não pode se organizar por si própria, em uma abstração que independa do movimento da realidade mesma, pois, “a esta abstracción no debe elevársela a la categoría de absoluta mediante una sustitución de la propia realidad objetiva por conceptos abstractos” (Aleksandrov, 1991, v. 3: 218).
Considerações finais
A crítica de Lukács ao experimento de Einstein torna-se pertinente à análise da relação entre a realidade física e o espelhamento geométrico, uma vez que as geometrias não-euclidianas contribuíram no desenvolvimento da teoria da relatividade. A análise concreta de um fenômeno concreto passa pelo correto espelhamento de seus momentos e, assim, Lukács esclarece que suas considerações não pretendem uma crítica a teoria física de Einstein, “sustentam apenas que seu experimento ideal não agrega nenhuma prova filosófica em favor da tese de que a geometria é um ‘capítulo da física’” (Lukács, 2012: 66). E finaliza, “parece-nos, muito antes, que, nesse particular, o importante físico fez uma concessão filosófica à teoria da manipulação do neopositivismo” (Lukács, 2012: 66). Concordamos que tal experimento não agrega prova filosófica a esta questão, porém, como dito anteriormente, não vemos nos argumentos de Einstein a intenção de provar que os objetos da geometria são constitutivos da realidade física, ou seja, provar a indistinção entre o espelhamento e a própria realidade física.
Referências Bibliográficas
Aleksandrov, Aleksandr Danilovich et al, La matemática: su contenido, métodos y significado. Trad.: Manuel López Rodríguez. Madrid: Alianza, 1991. v. 1.
 –, La matemática: su contenido, métodos y significado. Trad.: Manuel López Rodríguez.  Madrid: Alianza, 1991. v. 3.
Almira, José María Sigarreta; Ramos, Pilar Ruesga, “Evolución de la Geometría desde su perspectiva histórica”. En: Boletín de la Asociación Matemática Venezolana 1 , 2004, pág. 85.
Cheptulin, Alexandre, A dialética materialista: categorias e leis da dialética. Trad.: Leda Rita Cintra Ferraz. São Paulo: Alfa-Omega, 1982.
Einstein, Albert; Infeld, Leopold, A evolução da física. Rio de Janeiro: Zahar, 1966.
Engels, Friedrich, A dialética da natureza. São Paulo: Paz e Terra, 1979.
Lenin, Vladímir Ilich, Materialismo y empiriocriticismo. Moscú: Progreso, 1979.
Lukács, György, Para uma ontologia do ser social I. Trad.: Carlos Nelson Coutinho; Mario Duayer; Nélio Schneider. São Paulo: Boitempo, 2012.
Ovtchinnikov, N. F. et al, Materialismo dialético. Rio de Janeiro: Vitória, 1955.


[1] Johann Karl Friedrich Zöllner* (1834 - 1882) foi um astrônomo e físico alemão.
* Preservamos a grafia “Zelner” da citação de Cheptulin.